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1から100までの整数をかけた「1×2×3×……×98×99×100」の積は、最後に0がいくつ続くか(たとえば、10000になるときは4つ)。

答え 24個

積の末尾に0が付くのは10をかけたとき、つまり、2×5が出てきたときです。

たとえば、1から5までをかけると1×2×3×4×5ですが、分解して1×2×3×2×2×5とすると、2が3回、5が1回かけられることがわかります。

2×5の組み合わせは1回だけ可能なので、積の末尾には0が1つ付きます(=120)。

同じようにして、1から100までの間に、2と5の組み合わせが何回使われるかを求めます。

まず、2については次のようになります。

2の倍数:100÷2=50回
4の倍数:100÷4=25回
8の倍数:100÷8=12回
16の倍数100÷16=6回
32の倍数100÷32=3回
64の倍数100÷64=1回
合計:97回

※2の倍数は50個ありますが、2の2乗(4)では2が2回かけられるので、もう1回多くカウントする必要があります。さらに、2の3乗(8)、2の4乗(16)なども同じようにカウントして合計します。

2と組み合わせて10になる5の登場回数は次のようになります。

5の倍数100÷5=20回
25の倍数100÷25=4回
合計:24回

以上から、2と5の組み合わせは24回できることになります。つまり、「×10」が24回行われるので、末尾に付く0は、24個です。
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